数字图像处理——傅立叶变换
欧拉公式
对于一个复平面（对于欧几里得平面而言，把实数作为x轴，虚数作为y轴）
若在复平面上存在一个单位圆，所以在单位圆上的点可以表示为 \cos\theta+\sin\theta\cdot i
对于泰勒公式：
\begin{aligned} e^x&=1+x+\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{6}x^3+\dots+\frac{1}{n!}x^n=\sum_{i=0}^n\frac{1}{i!}x^i\\ \sin x&=x-\frac{1}{6}x^3+\frac{1}{120}x^5+\dots+\frac{(-1)^{2k-1}}{(2k-1)!}x^{2k-1}=\sum_{i=1}^n\frac{(-1)^{i-1}}{(2i-1)!}x^{2i-1}\\ \cos x&=1-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{24}x^4+\cdots+\frac{(-1)^k}{(2k)!}x^{2k}=\sum_{i=0}^n\frac{(-1)^i}{(2i)!}x^{2i} \end{aligned}
令 x=\theta i，则可得 e^{\theta i}=\cos \theta+\sin \theta \cdot i
则单位圆存在如下表示：
傅立叶级数
对于傅立叶级数表示如果存在周期为 T的函数，那它一定可以由一组正弦和余弦函数表示，即：
f(x)=a_0+\sum_{n=1}^\infty(a_n\sin\frac{2\pi n}{T}x+b_n\cos\frac{2\pi n}{T}x)
同时因为欧拉公式 e^{\theta i}=\cos \theta+\sin \theta \cdot i，所以
\begin{cases} e^{\theta i}=\cos \theta+\sin \theta \cdot i\\ e^{-\theta i}=\cos \theta-\sin \theta \cdot i \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} \cos\theta=\frac{e^{\theta i}+e^{-\theta i}}{2}\\ \sin\theta=\frac{e^{\theta i}-e^{-\theta i}}{2i} \end{cases}
带入傅立叶级数可得：
\begin{aligned}
f(x)&=a_0+\sum_{n=1}^\infty(a_n\frac{e^{\frac{2\pi n}{T}x\cdot i}+e^{-\frac{2\pi n}{T}x\cdot i}}{2}+b_n\frac{e^{\frac{2\pi n}{T}x\cdot i}-e^{-\frac{2\pi n}{T}x\cdot i}}{2i})\\
&=a_0+\sum_{n=1}^\infty(a_n\frac{e^{\frac{2\pi n}{T}x\cdot i}+e^{-\frac{2\pi n}{T}x\cdot i}}{2}- b_n\frac{e^{\frac{2\pi n}{T}x\cdot i}-e^{-\frac{2\pi n}{T}x\cdot i}}{2}\cdot i)\\
&=a_0+\sum_{n=0}^\infty(\frac{a_n-b_n\cdot i}{2}e^{\frac{2\pi n}{T}x\cdot i}+\frac{a_n+b_n\cdot i}{2}e^{-\frac{2\pi n}{T}x\cdot i})\\
\end{aligned}
令 c_0=a_0,c_n=\frac{a_n-b_n\cdot i}{2},c_{-n}=\frac{a_n+b_n\cdot i}{2}，则
f(x)=\sum_{n=-\infty}c_ne^{\frac{2\pi n}{T}x\cdot i}
其中 c_n为傅立叶级数的系数，它代表原始函数 f(x)在特定频率 n处的强度
对于 f(x)，此时等号左右两侧同时乘上 e^{-\frac{2\pi n}{T}x\cdot i}，则
e^{-\frac{2\pi n}{T}x\cdot i}\times f(x)=e^{-\frac{2\pi n}{T}x\cdot i}\times\sum_{n=-\infty}c_ne^{\frac{2\pi n}{T}x\cdot i}
在一个周期T内进行积分:
\begin{aligned} \int_0^T f(x)e^{-\frac{2\pi n}{T}x\cdot i}dx&=\int_0^Te^{-\frac{2\pi n}{T}x\cdot i}\times\sum_{n=-\infty}c_ne^{\frac{2\pi n}{T}x\cdot i}dx\\ &=\int_0^T\sum_{n=-\infty}c_ne^{\frac{2\pi n'}{T}x\cdot i}dx \end{aligned}
对于 e^{\frac{2\pi n'}{T}x\cdot i}在一个周期内积分，即考虑 e^{\frac{2\pi (n-m)}{T}x\cdot i}在一个周期上积分
当 n=m时， e^{\frac{2\pi (n-m)}{T}x\cdot i}=e^0=1，此时
\int_0^Te^{\frac{2\pi n'}{T}x\cdot i}dx=T
当 n\not=m时， e^{\frac{2\pi n'}{T}x\cdot i}=\cos \frac{2\pi n'}{T}x+\sin\ \frac{2\pi n'}{T}x\cdot i，此时
\begin{aligned} \int _0^Te^{\frac{2\pi n'}{T}x\cdot i}dx &=\int_0^T(\cos \frac{2\pi n'}{T}x+\sin\ \frac{2\pi n'}{T}x\cdot i)dx\\ &=\int_0^T\cos \frac{2\pi n'}{T}xdx+i\int_0^T\sin\ \frac{2\pi n'}{T}xdx\\ &=0 \end{aligned}
所以：
\begin{aligned} \int_0^T f(x)e^{-\frac{2\pi n}{T}x\cdot i}dx&=\int_0^Te^{-\frac{2\pi n}{T}x\cdot i}\times\sum_{n=-\infty}c_ne^{\frac{2\pi n}{T}x\cdot i}dx\\ &=\int_0^T\sum_{n=-\infty}c_ne^{\frac{2\pi n'}{T}x\cdot i}dx\\ &=c_nT \quad,n=n' \end{aligned}
可得
c_n=\frac{1}{T}\int_0^T f(x)e^{-\frac{2\pi n}{T}x\cdot i}dx
对于三角函数 A\sin(\omega x+\varphi)中周期为 T=\frac{2\pi}{\omega}，相位为 \varphi，振幅为 A，频率为 \Delta f=\frac{1}{T}。
在复平面中
c_n\times e^{\frac{2\pi n}{T}x\cdot i}=c_n\times (\cos\frac{2\pi n}{T}x+\sin\frac{2\pi n}{T}x\cdot i)
所以频率为 \Delta f= \frac{T}{2\pi n}，振幅为 c_n。
傅立叶变换
连续型
当周期 T趋向于无穷大时，函数不再是周期的，而是在整个实数轴上定义。此时频率 \Delta f= \frac{1}{T}\rightarrow0，这意味着频率变得连续，而不再是离散的。当 T\rightarrow\infty时， \omega=\frac{2\pi n}{T}，则可以将 n\Delta f替换为一个连续的频率。于是，我们从傅立叶级数系数 c_n 得到傅立叶变换：
\begin{cases} c_n=\frac{1}{T}\int_0^T f(x)e^{-\frac{2\pi n}{T}x\cdot i}dx\\ T=\infty \end{cases} \Rightarrow F(\omega)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)e^{-\omega x\cdot i}dx\quad,\omega=\frac{2\pi n}{T}
离散型
已知连续型的傅立叶变换为 F(\omega)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)e^{-\omega x\cdot i}dx
当我们考虑离散的信号时，而不是连续的信号，我们需要使用离散傅立叶变换(Discrete Fourier Transform, DFT)。给定一个离散信号序列 x[n]，其DFT为 X[k]，定义如下：
X[k] = \sum_{n=0}^{N-1} x[n] \cdot e^{-j \frac{2\pi kn}{N}}
其中:
x[n] 是在时域中的离散信号。
X[k] 是在频域中的离散频率响应。
N 是信号的总长度或总样本数。
k 是离散频率的索引，范围从 0 到 N-1。
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